Question

1. cot x sec4x = cot x + 2 tan x + tan3x





2. (sin x)(tan x cos x - cot x cos x) = 1 - 2 cos2x





3. 1 + sec2x sin2x = sec2x




4. - tan2x + sec2x = 1

Answer 1

1. cot(x)sec⁴(x) = cot(x) + 2tan(x) + tan(3x)
    cot(x)sec⁴(x)            cot(x)sec⁴(x)
                   0 = cos⁴(x) + 2cos⁴(x)tan²(x) - cos⁴(x)tan⁴(x)
                   0 = cos⁴(x)[1] + cos⁴(x)[2tan²(x)] + cos⁴(x)[tan⁴(x)]
                   0 = cos⁴(x)[1 + 2tan²(x) + tan⁴(x)]
                   0 = cos⁴(x)[1 + tan²(x) + tan²(x) + tan⁴(4)]
                   0 = cos⁴(x)[1(1) + 1(tan²(x)) + tan²(x)(1) + tan²(x)(tan²(x)]
                   0 = cos⁴(x)[1(1 + tan²(x)) + tan²(x)(1 + tan²(x))]
                   0 = cos⁴(x)(1 + tan²(x))(1 + tan²(x))
                   0 = cos⁴(x)(1 + tan²(x))²
                   0 = cos⁴(x)        or         0 = (1 + tan²(x))²
                ⁴√0 = ⁴√cos⁴(x)      or      √0 = (√1 + tan²(x))²
                   0 = cos(x)         or         0 = 1 + tan²(x)
         cos⁻¹(0) = cos⁻¹(cos(x))    or   -1 = tan²(x)
                 90 = x           or            √-1 = √tan²(x)
                                                         i = tan(x)
                                                      (No Solution)

2. sin(x)[tan(x)cos(x) - cot(x)cos(x)] = 1 - 2cos²(x)
              sin(x)[sin(x) - cos(x)cot(x)] = 1 - cos²(x) - cos²(x)
   sin(x)[sin(x)] - sin(x)[cos(x)cot(x)] = sin²(x) - cos²(x)
                               sin²(x) - cos²(x) = sin²(x) - cos²(x)
                                         + cos²(x)              + cos²(x)
                                             sin²(x) = sin²(x)
                                           - sin²(x)  - sin²(x)
                                                     0 = 0

3. 1 + sec²(x)sin²(x) = sec²(x)
           sec²(x)             sec²(x)
      cos²(x) + sin²(x) = 1
                    cos²(x) = 1 - sin²(x)
                  √cos²(x) = √(1 - sin²(x))
                     cos(x) = √(1 - sin²(x))
               cos⁻¹(cos(x)) = cos⁻¹(√1 - sin²(x))
                                 x = 0

4. -tan²(x) + sec²(x) = 1
               -1               -1
      tan²(x) - sec²(x) = -1
                    tan²(x) = -1 + sec²
                  √tan²(x) = √(-1 + sec²(x))
                     tan(x) = √(-1 + sec²(x))
            tan⁻¹(tan(x)) = tan⁻¹(√(-1 + sec²(x))
                             x = 0

Answer 2

Answer:

1. (cotx)(1+tan²x)² = cotx + 2cotxtan²x + cotxtan4x = cotx + 2tanx + tan³x

2. sinx(sinx - (cos²x/sinx)) = sin²x-cos²x = (1-cos²x) - cos²x = 1 - 2cos²x

(Sorry, I can't help with other two)

but I hope this helped :)