Question

Cerca ya de las elecciones, un servicio de noticias por cable conduce una encuesta de opinión de 1, 000 probables votantes. El resultado muestra que el contendiente republicano tiene una ventaja de 52 a 48 por ciento.
a. Construya el intervalo de confianza de 95% de la proporción que favorece al candidato republicano.
b. Calcule la probabilidad de que el candidato demócrata sea el líder real.
c. Repita el análisis anterior basándose en una muestra de 3,000 probables votantes.

Answer 1

De la información proporcionada, tenemos que:

a) El intervalo de confianza de 95% de la proporción que favorece al candidato republicano es (0.489, 0.551).

b) Probabilidad de 0.1029 = 10.29% que el candidato demócrata sea el líder real.

c) Probabilidad de 0.0143 = 1.43% que el candidato demócrata sea el líder real.

Item a:

En un amostra de n personas, con probabilidad de éxito $\pi$, e un nível de confianza de $\alpha$, hay el seguiente intervalo de confianza de la proporción.

$\pi \pm z\sqrt{\frac{\pi(1-\pi)}{n}}$

En que z es el valor crítico.

En este problema:

• 1,000 votantes, por eso $n = 1000$
• 52% de la muestra prefiere el candidato republicano, por eso $\pi = 0.48$

95% confidence level

$\alpha = 0.95$, por eso z es el valor de Z con un p-value $\frac{1+0.95}{2} = 0.975$, asi que $z = 1.96$.  

El límite inferior de este intervalo es:

$\pi - z\sqrt{\frac{\pi(1-\pi)}{n}} = 0.52 - 1.96\sqrt{\frac{0.52(0.48)}{1000}} = 0.489$

El límite superior de este intervalo es:

$\pi + z\sqrt{\frac{\pi(1-\pi)}{n}} = 0.52 + 1.96\sqrt{\frac{0.52(0.48)}{1000}} = 0.551$

El intervalo de confianza de 95% de la proporción que favorece al candidato republicano es (0.489, 0.551).

Item b:

En una distribución normal con média $\mu$ y deviación estandár $\sigma$, el z-score de un medida X es dado por:

$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$

• El z-score mide cuántas desviaciones estándar tiene la medida de la media.
• Después de encontrar el puntaje z, miramos la tabla z y encontramos el p-value asociado con este puntaje z, que es el percentil de X.
• Según el teorema del límite central, para una proporción p en una amuestra de tamaño n, la média es $\mu = p$, encuanto la deviación estandár es $\sigma = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$

En este problema:

• Amuestra de 1,000, por eso $n = 1000$.
• 48% de la amuestra prefiere el candidato democrata, por eso $p = 0.48$

La média e la deviación estandár son:

$\mu = p = 0.48$

$\sigma = \sqrt{\frac{p(1 - p)}{n}} = \sqrt{\frac{0.48(0.52)}{1000}} = 0.0158$

La probabilidad es 1 restada de el p-value de z quando X = 0.5.

$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$

$Z = \frac{0.5 - 0.48}{0.0158}$

$Z = 1.265$

$Z = 1.265$ tiene un p-value de 0.8971.

1 - 0.8971 = 0.1029

Probabilidad de 0.1029 = 10.29% que el candidato demócrata sea el líder real.

Item c:

Ahora, hay $n = 3000$, por eso:

$\sigma = \sqrt{\frac{p(1 - p)}{n}} = \sqrt{\frac{0.48(0.52)}{3000}} = 0.0091$

$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$

$Z = \frac{0.5 - 0.48}{0.0091}$

$Z = 2.19$

$Z = 2.19$ tiene un p-value de 0.9857.

1 - 0.9857 = 0.0143

Probabilidad de 0.0143 = 1.43% que el candidato demócrata sea el líder real.

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