Question

Andres tiene una tienda donde venden juguetes de colección, entre ellos las esferas del dragón, cada esfera viene en una caja de forma cúbica cuya arista mide (a + 2) cm Andres hace un pedido de cierta cantidad de estas esferas, estas son colocadas en una caja cuya base tiene un área de (25a2 + 100a +100)cm2 y una altura de (3a + 6)cm.

A. ¿Cuál es el volumen de una caja que contiene una esfera del dragón y la caja donde se ubicará el pedido? Representa algebraicamente de dos formas.
B. ¿Cuántas cajas con las esferas del dragón compró Andres, si se sabe qué la caja donde se colocará el pedido se llena totalmente? Representa esta situación mediante una fracción algebraica y reducela de ser posible Si el valor de "a" fuera 6 ¿cambiaría la cantidad de cajas con esferas del dragón pedidas por Andres? justifica tu respuesta

Un reto más: La cantidad de niveles que tendrá la caja donde se colocará el pedido se puede representar con la siguiente expresión:
$\frac{3a + 6}{a + 2}$
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Answer 1

Tenemos un problema sobre volumenes y factorización.

Partimos con la informacion:

Cada caja de esfera es una cúbica, y tiene una arista que mide (a + 2)cm

Sabemos que la caja que contiene las cajas de las esferas tiene:

una base:

B = (25*a^2 + 100*a +100)cm^2

una altura:

H = (3a + 6)cm

A) Queremos encontrar el volumen de ambas cajas.

Sabemos que para un cubo, el volumen es el cubo de la arista, entonces el volumen de la caja que contiene la esfera es:

V = cm^3  = (a^3 + 6*a^2 + 12*a + 8) cm^3

(expresado en forma factorizada y expandida)

Y para un prisma rectangular, el volumen será igual que el producto entre la base y la altura.

V' = B*H = [(25*a^2 + 100*a +100)cm^2]*[(3a + 6)cm]

Tambien podemos expandir esto a:

V' = (75*a^3 + 450*a^2 + 900*a + 600) cm^3

También expresado en dos formas.

B) Para responder esto debemos tomar el cociente V'/V

$V'/V = \frac{(75*a^3 + 450*a^2 + 900*a + 600) cm^3}{(a^3 + 6*a^2 + 12*a + 8) cm^3}$

Para simplificar esto, deberíamos utilizar las formas factorizadas:

$V'/V = \frac{ [(25*a^2 + 100*a +100)]*[(3a + 6)]}{ (a + 2)^3} = \frac{ 3*[(25*a^2 + 100*a +100)]*[(a + 2)]}{ (a + 2)^3} \\\\V'/V = \frac{ 3*[(25*a^2 + 100*a +100)]}{ (a + 2)^2}$

Ahora debemos factorizar la base:

25*a^2 + 100*a + 100

Para ello debemos encontrar las dos raices, que se obtienen con:

$a = \frac{-100 \pm \sqrt{100^2 - 4*25*100} }{2*25} = \frac{-100 \pm 0 }{25*2} = -2$

(dos raices iguales a -2)

Entonces podemos escribir:

25*a^2 + 100*a + 100 = 25*(a + 2)^2

Remplazando esto en el cociente de volumenes, obtenemos:

$V'/V = \frac{ 3*[(25*a^2 + 100*a +100)]}{ (a + 2)^2} = \frac{3*25*(a + 2)^2}{(a + 2)^2} = 3*25 = 75$

Asi, podemos ver que entran 75 cajas.

También se pregunta:

" Si el valor de "a" fuera 6 ¿cambiaría la cantidad de cajas con esferas del dragón pedidas por Andres? "

La respuesta es no, pues podemos ver que el cociente de volumenes no depende del valor de a.

Reto extra:

La cantidad de niveles está dada por:

$\frac{3a + 6}{a + 2} = \frac{3(a + 2)}{a + 2} = 3$

Así podemos ver que hay 3 niveles.

Si quieres aprender mas, puedes leer:

https://brainly.com/question/15739168