Question

La punta de la aguja de una máquina de coser se mueve en MAS, sobre el eje x con una frecuencia de 2,5 [Hz]. En t = 0, sus componentes de posición y velocidad son, respectivamente, +1,1 [cm] y -15 [cm/s]. A) Calcule la componente de aceleración de la aguja en t = 0. B) Escriba ecuaciones para las componentes de posición, velocidad y aceleración de la punta en función del tiempo. (15 puntos)

Answer 1

Answer:

A) El componente de aceleración de la aguja en $t = 0\,s$ es -236,206 centímetros por segundo al cuadrado.

B) Las ecuaciones para la componentes de posición, velocidad y aceleración de la punta en función del tiempo son, respectivamente:

$x(t) = 1,458\cdot \cos (15,708\cdot t +0,228\pi)$

$v(t) = -22,902\cdot \sin (15,708\cdot t + 0,228\pi)$

$a(t) = -359,749\cdot \sin (15,708\cdot t + 0,228\pi)$

Explanation:

El movimiento armónico simple es un movimiento periódico de carácter sinusoidal que está descrito por la siguiente ecuación cinemática:

$x(t) = A\cdot \cos (\omega\cdot t + \phi )$ (1)

Donde:

$x(t)$ - Posición actual de la aguja con respecto a la posición de equilibrio, en centímetros.

$A$ - Amplitud, en centímetros.

$\omega$ - Frecuencia angular, en radianes por segundo.

$\phi$ - Ángulo de fase, en radianes.

Por Cálculo Diferencial, obtenemos las fórmulas cinemáticas para la velocidad ($v(t)$), en metros por segundo, y la aceleración ($a(t)$), en metros por segundo cuadrado, de la aguja:

$v(t) = -\omega\cdot A \cdot \sin (\omega\cdot t + \phi)$ (2)

$a(t) = -\omega^{2}\cdot A \cdot \cos (\omega\cdot t + \phi)$ (3)

Por otra parte, la frecuencia angular está descrita por la siguiente fórmula:

$\omega = 2\pi\cdot f$ (4)

Donde $f$ es la frecuencia, en hertz.

Ahora, necesitamos calcular la amplitud y el ángulo de fase mediante el sistema de ecuaciones que hemos formado: $t = 0\,s$, $x(t) = 1,1\,cm$, $v(t) = -15\,\frac{cm}{s}$ and $f = 2,5\,hz$:

Por (4):

$\omega = 2\pi\cdot f$

$\omega = 2\pi\cdot (2,5\,hz)$

$\omega \approx 15,708\,\frac{rad}{s}$

Por (1) y (2):

$A\cdot \cos \phi = 1,1$ (1b)

$-15,708\cdot A \cdot \sin \phi = -15$ (2b)

Al dividir (2b) por (1b) y despejar el ángulo de fase tenemos que:

$-15,708\cdot \tan \phi = -13,636$

$\tan \phi = 0,868$

$\phi = \tan^{-1} 0.868$

$\phi \approx 0,228\pi\,rad$

Por (1) tenemos el valor de la amplitud: ($\phi \approx 0,228\pi\,rad$)

$A = \frac{1,1}{\cos \phi}$

$A = \frac{1,1}{\cos 0,228\pi}$

$A \approx 1,458\,cm$

A) El componente de aceleración de la aguja se calcula por (3) evaluada en $t = 0\,s$:

$a(t) = -359,749\cdot \sin (15,708\cdot t + 0,228\pi)$

$a(0) = -236,206\,\frac{cm}{s^{2}}$

B) Las ecuaciones para la componentes de posición, velocidad y aceleración de la punta en función del tiempo son, respectivamente:

$x(t) = 1,458\cdot \cos (15,708\cdot t +0,228\pi)$

$v(t) = -22,902\cdot \sin (15,708\cdot t + 0,228\pi)$

$a(t) = -359,749\cdot \sin (15,708\cdot t + 0,228\pi)$