Question

the truth table for the formula (X → Y ) ∨ (Z → ¬X)

Answer 1

Answer:

$\begin{array}{c|c|c||c}X & Y & Z & (X \to Y) \lor (Z \to \lnot X) \\ \cline{1-4} \rm T & \rm T & \rm T & \rm T\\ \rm T & \rm T & \rm F & \rm T \\ \rm T & \rm F & \rm T & \rm F \\ \rm T & \rm F & \rm F & \rm T \\ \cline{1-4} \rm F & \rm T & \rm T & \rm T \\ \rm F & \rm T & \rm F & \rm T \\ \rm F & \rm F & \rm T & \rm T \\ \rm F & \rm F & \rm F & \rm T\end{array}$.

$\begin{array}{c|c|c||c}X & Y & Z & (X \to Y) \lor (Z \to \lnot X) \\ \hline \rm T & \rm T & \rm T & \rm T\\ \rm T & \rm T & \rm F & \rm T \\ \rm T & \rm F & \rm T & \rm F \\ \rm T & \rm F & \rm F & \rm T \\ \hline \rm F & \rm T & \rm T & \rm T \\ \rm F & \rm T & \rm F & \rm T \\ \rm F & \rm F & \rm T & \rm T \\ \rm F & \rm F & \rm F & \rm T\end{array}$.

Step-by-step explanation:

Let $A$ denote a Boolean variable.

The negation of $A$ ($\lnot A$) is false if when $\!A$ is true, and true when $A\!$ is false. In a truth table:

$\begin{array}{c||c} A & \lnot A \\ \cline{1-2} \rm T & \rm F \\ \rm F & \rm T\end{array}$.

$\begin{array}{c||c} A & \lnot A \\ \hline \rm T & \rm F \\ \rm F & \rm T\end{array}$.

Let $B$ denote another Boolean variable. The material implication "$A$ implies $\!B$" ($A \to B$) is true unless $B\!$ is false when $A\!$ is true.  

$\begin{array}{c|c||c} A & B & A \to B \\ \cline{1-3} \rm T & \rm T & \rm T \\ \rm T & \rm F & \rm F \\ \rm F & \rm T & \rm T \\ \rm F & \rm F & \rm T\end{array}$.

$\begin{array}{c|c||c} A & B & A \to B \\ \hline \rm T & \rm T & \rm T \\ \rm T & \rm F & \rm F \\ \rm F & \rm T & \rm T \\ \rm F & \rm F & \rm T\end{array}$

The logical or "$A$ or $B$" is true when either $A\!$ or $B\!$ is true (and also when both are true.)

$\begin{array}{c|c||c} A & B & A \lor B \\ \cline{1-3} \rm T & \rm T & \rm T \\ \rm T & \rm F & \rm T \\ \rm F & \rm T & \rm T \\ \rm F & \rm F & \rm F\end{array}$

$\begin{array}{c|c||c} A & B & A \to B \\ \hline \rm T & \rm T & \rm T \\ \rm T & \rm F & \rm F \\ \rm F & \rm T & \rm T \\ \rm F & \rm F & \rm T\end{array}$.

Start by finding the value of $\lnot X$, $(X \to Y)$, and $(Z \to \lnot X)$ for each of the $2^3 = 8$ possible combinations of $X$, $Y$, and $Z$.

$\begin{array}{c|c|c||c||c|c}X & Y & Z & \lnot X & (X \to Y) & (Z \to \lnot X) \\ \cline{1-6} \rm T & \rm T & \rm T & \rm F & \rm T & \rm F\\ \rm T & \rm T & \rm F & \rm F & \rm T & \rm T \\ \rm T & \rm F & \rm T & \rm F & \rm F & \rm F \\ \rm T & \rm F & \rm F & \rm F & \rm F & \rm T \\ \cline{1-6} \rm F & \rm T & \rm T & \rm T & \rm T & \rm T \\ \rm F & \rm T & \rm F & \rm T & \rm T & \rm T \\ \rm F & \rm F & \rm T & \rm T & \rm T & \rm T \\ \rm F & \rm F & \rm F & \rm T & \rm T & \rm T \end{array}$.

$\begin{array}{c|c|c||c||c|c}X & Y & Z & \lnot X & (X \to Y) & (Z \to \lnot X) \\ \hline \rm T & \rm T & \rm T & \rm F & \rm T & \rm F\\ \rm T & \rm T & \rm F & \rm F & \rm T & \rm T \\ \rm T & \rm F & \rm T & \rm F & \rm F & \rm F \\ \rm T & \rm F & \rm F & \rm F & \rm F & \rm T \\ \hline \rm F & \rm T & \rm T & \rm T & \rm T & \rm T \\ \rm F & \rm T & \rm F & \rm T & \rm T & \rm T \\ \rm F & \rm F & \rm T & \rm T & \rm T & \rm T \\ \rm F & \rm F & \rm F & \rm T & \rm T & \rm T \end{array}$.

The value of $(X \to Y) \lor (Z \to \lnot X)$ is true whenever either $(X \to Y)$ or $(Z \to \lnot X)$ is true (or both.) The combination $X = \rm T$, $Y = \rm F$, and $Z = \rm T$ is the only one among the eight where neither $(X \to Y)\!$ nor $(Z \to \lnot X)\!$ is true. $(X \to Y) \lor (Z \to \lnot X)\!$ would evaluate to true for all other combinations.

Hence, the truth table would be:

$\begin{array}{c|c|c||c}X & Y & Z & (X \to Y) \lor (Z \to \lnot X) \\ \cline{1-4} \rm T & \rm T & \rm T & \rm T\\ \rm T & \rm T & \rm F & \rm T \\ \rm T & \rm F & \rm T & \rm F \\ \rm T & \rm F & \rm F & \rm T \\ \cline{1-4} \rm F & \rm T & \rm T & \rm T \\ \rm F & \rm T & \rm F & \rm T \\ \rm F & \rm F & \rm T & \rm T \\ \rm F & \rm F & \rm F & \rm T\end{array}$.

$\begin{array}{c|c|c||c}X & Y & Z & (X \to Y) \lor (Z \to \lnot X) \\ \hline \rm T & \rm T & \rm T & \rm T\\ \rm T & \rm T & \rm F & \rm T \\ \rm T & \rm F & \rm T & \rm F \\ \rm T & \rm F & \rm F & \rm T \\ \hline \rm F & \rm T & \rm T & \rm T \\ \rm F & \rm T & \rm F & \rm T \\ \rm F & \rm F & \rm T & \rm T \\ \rm F & \rm F & \rm F & \rm T\end{array}$.