Question

Prove that
cos10 - sin10 / cos10 + sin10 = tan35

Answer 1

(cos(10º) -sin (10º))/(cos (10º) +sin (10º))=tan (35º)

1) tan x=sin x /cos x; then:

(cos 10º-sin 10º)/(cos 10º+sin 10º)=sin 35º / cos 35º
cos 35º(cos 10º-sin 10º) = sin 35º(cos 10º+sin 10º)
cos 35º cos 10º - cos 35º sin 10º=sin 35º cos 10º+sin 35º sin 10º
cos 35º cos 10º-sin 35º sin 10º=sin 35º cos 10º+cos 35º sin 10º

2)
cos (A+B)=cos A cos B-sin A sin B
cos (35º+10º)=cos 35ºcos 10º-sin 35ºsin 10º
cos (45º)=cos 35º cos 10º-sin 35º sin 10º

Sin (A+B)=sin A cos B+ sin B cos A
sin (35º+10º)=sin 35º cos 10º+cos 35ºsin 10º
sin (45º)=sin 35ºcos 10º+cos 35º sin 10º

Therefore:
cos (45º)=sin (45º)

Remember:  sin (45º)=cos (45º)=√2 /2

Answer 2

Assuming [cos(10)+sin(10)]/[cos(10) - sin(10)]. 

Taking
tan(55) = tan(45 + 10) 
            = [tan(45) + tan(10)]/[1 - tan(45)tan(10)] 
            = [1 + tan(10)] / [1 - tan(10)] 

Now multiply all 4 terms by cos(10), and you get 
[cos(10) + sin(10)]/[cos(10) - sin(10)].