Question

Find y' if y= In (x2 +6)^3/2
y'=

Answer 1

Answer:

$\displaystyle y' = \frac{3xln(x^2 + 6)^{\frac{1}{2}}}{x^2 + 6}$

General Formulas and Concepts:

Pre-Algebra

Order of Operations: BPEMDAS

1. Brackets
2. Parenthesis
3. Exponents
4. Multiplication
5. Division
6. Addition
7. Subtraction

• Left to Right

Algebra I

• Factoring

Calculus

Derivatives

Derivative Notation

Derivative of a constant is 0

Basic Power Rule:

• f(x) = cxⁿ
• f’(x) = c·nxⁿ⁻¹

Derivative Property [Multiplied Constant]:                                                                $\displaystyle \frac{d}{dx} [cf(x)] = c \cdot f'(x)$

Derivative Rule [Chain Rule]:                                                                                     $\displaystyle \frac{d}{dx}[f(g(x))] =f'(g(x)) \cdot g'(x)$

ln Derivative: $\displaystyle \frac{d}{dx} [lnu] = \frac{u'}{u}$

Step-by-step explanation:

Step 1: Define

$\displaystyle y = ln(x^2 + 6)^{\frac{3}{2}}$

Step 2: Differentiate

1. [Derivative] Chain Rule:                                                                                 $\displaystyle y' = \frac{d}{dx}[ln(x^2 + 6)^{\frac{3}{2}}] \cdot \frac{d}{dx}[ln(x^2 + 6)] \cdot \frac{d}{dx}[x^2 + 6]$
2. [Derivative] Chain Rule [Basic Power Rule]:                                                 $\displaystyle y' = \frac{3}{2}ln(x^2 + 6)^{\frac{3}{2} - 1} \cdot \frac{d}{dx}[ln(x^2 + 6)] \cdot \frac{d}{dx}[x^2 + 6]$
3. [Derivative] Simplify:                                                                                      $\displaystyle y' = \frac{3}{2}ln(x^2 + 6)^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{d}{dx}[ln(x^2 + 6)] \cdot \frac{d}{dx}[x^2 + 6]$
4. [Derivative] ln Derivative:                                                                               $\displaystyle y' = \frac{3}{2}ln(x^2 + 6)^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{x^2 + 6} \cdot \frac{d}{dx}[x^2 + 6]$
5. [Derivative] Basic Power Rule:                                                                      $\displaystyle y' = \frac{3}{2}ln(x^2 + 6)^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{x^2 + 6} \cdot (2 \cdot x^{2 - 1} + 0)$
6. [Derivative] Simplify:                                                                                       $\displaystyle y' = \frac{3}{2}ln(x^2 + 6)^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{x^2 + 6} \cdot (2x)$
7. [Derivative] Multiply:                                                                                       $\displaystyle y' = \frac{3ln(x^2 + 6)^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{1}{x^2 + 6} \cdot (2x)$
8. [Derivative] Multiply:                                                                                       $\displaystyle y' = \frac{3ln(x^2 + 6)^{\frac{1}{2}}}{2(x^2 + 6)} \cdot (2x)$
9. [Derivative] Multiply:                                                                                       $\displaystyle y' = \frac{3(2x)ln(x^2 + 6)^{\frac{1}{2}}}{2(x^2 + 6)}$
10. [Derivative] Multiply:                                                                                       $\displaystyle y' = \frac{6xln(x^2 + 6)^{\frac{1}{2}}}{2(x^2 + 6)}$
11. [Derivative] Factor:                                                                                         $\displaystyle y' = \frac{2(3x)ln(x^2 + 6)^{\frac{1}{2}}}{2(x^2 + 6)}$
12. [Derivative] Simplify:                                                                                       $\displaystyle y' = \frac{3xln(x^2 + 6)^{\frac{1}{2}}}{x^2 + 6}$

Topic: AP Calculus AB/BC (Calculus I/II)

Unit: Derivatives

Book: College Calculus 10e