Answer:
1) La serie geométrica formada es
4, 2, 1,..., ∞
2) La suma al infinito de las áreas de los cuadrados es 8 in.²
Step-by-step explanation:
1) El área del primer cuadrado, a₁ = 2² = 4 pulgadas²
El área del siguiente cuadrado, a₂ = (√ (1² + 1²)) ² = (√2) ² = 2 pulg²
El área del siguiente cuadrado, a₃ = ((√ (2) / 2) ² + (√ (2) / 2) ²) = 1 pulg²
Por lo tanto, la razón común, r = a₂ / a₁ = 2/4 = a₃ / a₂ = 1/2
Las áreas de los cuadrados progresivos forman una progresión geométrica como sigue;
4, 4×(1/2), 4 ×(1/2)²,...,4×[tex](1/2)^{\infty}[/tex]
De donde obtenemos la serie geométrica formada de la siguiente manera;
4, 2, 1,..., ∞
2) La suma de 'n' términos de una progresión geométrica hasta el infinito para -1 <r <1 se da como sigue;
[tex]S_{\infty} = \dfrac{a}{1 - r}[/tex]
Por lo tanto, la suma de las áreas de los cuadrados hasta el infinito se obtiene sustituyendo los valores de 'a' y 'r' en la ecuación anterior de la siguiente manera;
[tex]La \ suma \ al \ infinito \ del \ cuadrado \ S_{\infty} = \dfrac{4 \ in.^2}{1 - \dfrac{1}{2} } = \dfrac{4 \ in.^2}{\left(\dfrac{1}{2} \right)} = 2 \times 4 \ in.^2= 8 \ in.^2[/tex]
La suma al infinito de las áreas de los cuadrados, [tex]S_{\infty}[/tex] = 8 in.²
