Answer:
l lugar geométrico de los puntos que equidistan a otros dos puntos fijos {\displaystyle A}A y {\displaystyle B}B es una recta o eje de simetría de dichos dos puntos. Si los dos puntos son los dos extremos de un segmento {\displaystyle {\overline {AB}}}\overline {AB}, dicha recta, o lugar geométrico, es llamada mediatriz y es la recta que interseca perpendicularmente a {\displaystyle {\overline {AB}}}\overline {AB} en su punto medio.
La bisectriz cumple la propiedad de que todos sus puntos equidistan a los lados de dicho ángulo, convirtiéndose la bisectriz en un caso particular del lugar geométrico que sigue a continuación.
El caso de equidistancia a dos rectas paralelas, obtenemos que la paralela media es el lugar geométrico de los puntos que las equidistan. Se observa que, bajo el punto de vista de que las rectas paralelas se cortan en el infinito -se elimina, pues, la noción de paralelismo-, pasa a ser un sinónimo de la bisectriz, donde el ángulo ha tomado valor nulo.
Secciones cónicas
Las secciones cónicas pueden ser descritas mediante sus lugares de geométria:
La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos cuya distancia a un punto determinado, el centro, es un valor dado (el radio).
La elipse es el lugar geométrico de los puntos tales que la suma de su distancia a dos puntos fijos, los focos, es una constante equivalente a la longitud del eje mayor de la elipse.
La parábola es el lugar geométrico de los puntos cuya distancia a un foco equivale a su distancia a una recta llamada directriz.
La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos tales que el valor absoluto de la diferencia entre sus distancias a dos puntos fijos, los focos, es igual a una constante (positiva), que equivale a la distancia entre los vértices.
Una recta es un lugar geométrico infinito formado por un conjunto de puntos que conservan la misma dirección.
En este ejercicio debemos concluir que tipo de expresión se deriva del enunciado del lugar geométrico. Recuérdese que un lugar geométrico es un conjunto de puntos que satisfacen una característica dada.
Matemáticamente hablando, el lugar geométrico puede ser definido a partir de las definiciones de longitudes de segmento de recta:
[tex]AC = AB + BC[/tex] (1)
Puesto que [tex]AB[/tex] y [tex]BC[/tex] tienen la misma dirección, entonces es posible aplicar las siguientes equivalencias:
[tex]BC = k \cdot AB[/tex], [tex]k\in \mathbb{R}[/tex] (2)
[tex]AC = r\cdot AB, \,r\in\mathbb{R}[/tex] (3)
Al aplicarse (2) y (3) en (1) y simplificar la expresión, tenemos lo siguiente:
[tex]r = 1 + k[/tex] (4)
Por geometría analítica tenemos que el lugar geométrico debe ser una recta, puesto que [tex]r[/tex] y [tex]k[/tex] representan un conjunto infinito de elementos. [tex]\blacksquare[/tex]
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