Question

Second derivative of x^½ + y^½ = a^½

Answer 1

Answer:

$\displaystyle y'' = \frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{2x^\big{\frac{3}{2}}}$

General Formulas and Concepts:

Calculus

Differentiation

• Derivatives
• Derivative Notation

Derivative Property [Multiplied Constant]:                                                           $\displaystyle \frac{d}{dx} [cf(x)] = c \cdot f'(x)$

Derivative Property [Addition/Subtraction]:                                                         $\displaystyle \frac{d}{dx}[f(x) + g(x)] = \frac{d}{dx}[f(x)] + \frac{d}{dx}[g(x)]$  

Basic Power Rule:

1. f(x) = cxⁿ
2. f’(x) = c·nxⁿ⁻¹

Derivative Rule [Quotient Rule]:                                                                           $\displaystyle \frac{d}{dx} [\frac{f(x)}{g(x)} ]=\frac{g(x)f'(x)-g'(x)f(x)}{g^2(x)}$

Derivative Rule [Chain Rule]:                                                                                 $\displaystyle \frac{d}{dx}[f(g(x))] =f'(g(x)) \cdot g'(x)$

Implicit Differentiation

Step-by-step explanation:

*Note:

Allow a to be defined as an arbitrary constant.

Step 1: Define

$\displaystyle x^\big{\frac{1}{2}} + y^\big{\frac{1}{2}} = a^\big{\frac{1}{2}}$

Step 2: Differentiate

1. Basic Power Rule [Addition/Subtraction, Chain Rule]:                               $\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{y'}{2\sqrt{y}} = 0$
2. Isolate y' term:                                                                                               $\displaystyle \frac{y'}{2\sqrt{y}} = -\frac{1}{2\sqrt{x}}$
3. Isolate y':                                                                                                       $\displaystyle y' = -\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}}$
4. Derivative Rule [Quotient Rule]:                                                                   $\displaystyle y'' = -\frac{(\sqrt{y})'(\sqrt{x}) - \sqrt{y}(\sqrt{x})'}{(\sqrt{x})^2}$
5. Basic Power Rule [Derivative Rule - Chain Rule]:                                       $\displaystyle y'' = -\frac{\frac{y'\sqrt{x}}{2\sqrt{y}} - \frac{\sqrt{y}}{2\sqrt{x}}}{(\sqrt{x})^2}$
6. Simplify:                                                                                                         $\displaystyle y'' = -\frac{\frac{y'\sqrt{x}}{2\sqrt{y}} - \frac{\sqrt{y}}{2\sqrt{x}}}{x}$
7. Rewrite:                                                                                                         $\displaystyle y'' = \frac{-(y'x - y)}{2x^\big{\frac{3}{2}}\sqrt{y}}$
8. Substitute in y':                                                                                             $\displaystyle y'' = \frac{-(-\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}}x - y)}{2x^\big{\frac{3}{2}}\sqrt{y}}$
9. Simplify:                                                                                                         $\displaystyle y'' = \frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{2x^\big{\frac{3}{2}}}$

Topic: AP Calculus AB/BC (Calculus I/I + II)

Unit: Differentiation