Question

Antonio está situado en el punto medio de la distancia entre dos edificios. Observa la cúspide del edificio de la izquierda con un ángulo de 40o y al edificio de la derecha con un ángulo de 58 o . Si la altura del edificio de la izquierda es de 65 m, ¿qué altura tendrá el edificio de la derecha? ¿Y qué distancia hay entre los dos edificios?

Answer 1

Answer:

a) El edificio de la derecha tiene una altura de $\\ h = 123.9655m \approx 124m$. b) La distancia entre los dos edificios es de $\\ D = 154.9278m$.

Step-by-step explanation:

Considerando la información suministrada en la pregunta, podemos hacer una representación gráfica del problema (ver gráfico anexo), y la clave para resolverlo es utilizando una razón trigonométrica: la tangente de un ángulo, dada por la expresión:

$\\ \tan(\alpha) = \frac{cateto\;opuesto}{cateto\;adyacente}$ [1]

Debemos tener claro que:

• Considerando que se trata de dos edificios, el ángulo de cada uno de ellos respecto a la horizontal es de 90º (en grados sexagesimales), lo que nos da información adicional sobre el problema (un ángulo adicional).
• Como Antonio (el observador) está situado en el punto medio de la distancia entre ambos edificios, tendremos que el cateto d de los triángulos formados, tiene la misma medida en ambos triángulos.

Así, para resolver este problema, primero encontraremos el valor del cateto d usando la tangente del ángulo de 40º. Luego, usaremos este valor (d) para determinar la altura (h) del edificio que se encuentra a la derecha.

Determinación del valor d

De esta manera, aplicando [1], tenemos que:

$\\ \tan(\alpha) = \frac{cateto\;opuesto}{cateto\;adyacente}$

$\\ \tan(40^{\circ}) = \frac{65m}{d}$

Nos interesa despejar d. Para lograrlo, multiplicamos ambos miembros de la igualdad por d :

$\\ \tan(40^{\circ})*d = \frac{65m}{d}*d$

$\\ \tan(40^{\circ})*d = 65m*\frac{d}{d}$

$\\ \tan(40^{\circ})*d = 65m*1$

$\\ \tan(40^{\circ})*d = 65m$

Multiplicamos ahora por $\\ \frac{1}{\tan(40^{\circ})}$

$\\ \tan(40^{\circ})*d*\frac{1}{\tan(40^{\circ})} = 65m*\frac{1}{\tan(40^{\circ})}$

$\\ d*\frac{\tan(40^{\circ})}{\tan(40^{\circ})} = \frac{65m}{\tan(40^{\circ})}$

$\\ d*1 = \frac{65m}{\tan(40^{\circ})}$

$\\ d = \frac{65m}{\tan(40^{\circ})}$

Considerando $\\ \tan(40^{\circ}) = 0.8391$

$\\ d = \frac{65m}{0.8391}$

$\\ d = 77.4639m$

De esta manera, Antonio está ubicado en el punto medio. Cada edificio está a una distancia $\\ d = 77.4639m$ de Antonio.

Altura h del edificio de la derecha

Para determinar la altura del edificio de la derecha, procedemos de manera similar haciendo uso de la tangente para el ángulo de 58º (en grados sexagesimales).

Haciendo uso de [1], tenemos:

$\\ \tan(\alpha) = \frac{cateto\;opuesto}{cateto\;adyacente}$

$\\ \tan(58^{\circ}) = \frac{h}{d}$

Sabemos del punto anterior que $\\ d = 77.4639m$. Entonces:

Multiplicando ambos miembros de la igualdad por $\\ d$

$\\ \tan(58^{\circ})*d= \frac{h}{d}*d$

$\\ \tan(58^{\circ})*d= h*\frac{d}{d}$

$\\ \tan(58^{\circ})*d= h*1$

$\\ \tan(58^{\circ})*d= h$

$\\ h = \tan(58^{\circ})*d$

$\\ h = 1.6003*77.4639m$

$\\ h = 123.9655m$

Es decir, el edificio de la derecha tiene una altura de $\\ h = 123.9655m \approx 124m$.

Y, considerando que Antonio se encuentra en el punto medio de la distancia entre los dos edificios $\\ d = 77.4639m$, tenemos que la distancia entre ambos edificios (D) es:

$\\ d = \frac{D}{2}$

Multiplicando por 2 en ambos lados de la expresión anterior:

$\\ d * 2 = \frac{D}{2}*2$

$\\ d * 2 = D * \frac{2}{2}$

$\\ d * 2 = D * 1$

$\\ d * 2 = D$

$\\ D = 2 * d$

$\\ D = 2 * 77.4639m$

$\\ D = 154.9278m$

Por lo tanto, la distancia entre los dos edificios es de $\\ D = 154.9278m$.