Answer:
[tex]\frac{\cos\left(2x\right)-\cos\left(4x\right)}{\sin\left(2x\right)+\sin\left(4x\right)}=\tan\left(x\right)[/tex]
Step-by-step explanation:
[tex]\frac{\cos\left(2x\right)-\cos\left(4x\right)}{\sin\left(2x\right)+\sin\left(4x\right)}[/tex]
Apply formula:
[tex]\cos\left(A\right)-\cos\left(B\right)=-2\cdot\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\cdot\sin\left(\frac{A-B}{2}\right)[/tex] and
[tex]\sin\left(A\right)+\sin\left(B\right)=2\cdot\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\cdot\sin\left(\frac{A-B}{2}\right)[/tex]
We get:
[tex]=\frac{-2\cdot\sin\left(\frac{2x+4x}{2}\right)\cdot\sin\left(\frac{2x-4x}{2}\right)}{2\cdot\sin\left(\frac{2x+4x}{2}\right)\cdot\cos\left(\frac{2x-4x}{2}\right)}[/tex]
[tex]=\frac{-\sin\left(\frac{2x-4x}{2}\right)}{\cos\left(\frac{2x-4x}{2}\right)}[/tex]
[tex]=\frac{-\sin\left(\frac{-2x}{2}\right)}{\cos\left(\frac{-2x}{2}\right)}[/tex]
[tex]=\frac{-\sin\left(-x\right)}{\cos\left(-x\right)}[/tex]
[tex]=\frac{-\cdot-\sin\left(x\right)}{\cos\left(x\right)}[/tex]
[tex]=\frac{\sin\left(x\right)}{\cos\left(x\right)}[/tex]
[tex]=\tan\left(x\right)[/tex]
Hence final answer is
[tex]\frac{\cos\left(2x\right)-\cos\left(4x\right)}{\sin\left(2x\right)+\sin\left(4x\right)}=\tan\left(x\right)[/tex]
